Les mathématiques et les SES

 

A quoi servent les suites, les fonctions, les intégrales, les probabilités, en Sciences Economiques et Sociales. Nous allons tenter ci-dessous de répondre à ces interrogations

 

Les indices (I), coefficient multiplicateurs (cm) et taux de variation (t)

1. Les calculs

Le Baba des premiers calculs en SES mais aussi dans la vie de tous les jours…

On nommera la valeur d’arrivée → va et la valeur de départ → vd

Formule du taux de variation t = ((va-vd) / vd ) x 100

Formule du coefficient multiplicateur cm = va / vd

Formule des indices simples I = (va / vd) x 100

 

Le tableau ci-dessous rappelle les liens entre taux de variation, indice et coefficient multiplicateur

  t cm I
t   t = (cm – 1) x 100 t = I – 100
cm cm= ( t/100) + 1   cm = I / 100
I I = t + 100 I = cm x 100  

 

Exercice pour vérifier :

La population française comptabilisait environ 40 millions d’habitants au premier janvier 1901 et 65 millions au premier janvier 2011

Questions :

1) Calcule le taux de variation de la population française entre ces 2 dates: 62.5 %

2.)Calculez le coefficient multiplicateur de l’évolution de la population française entre 1901 et 2011

Réponse:1.625 ou environ 1.6 entre 1901 et 2011 la population française a été multipliée par 1,6 .

 

Remarque : derrière ce petit calcul tout simple, se cache toute l’Histoire de France du XX ème siècle. La France terre d’accueil des Belges, Italiens, Grecs, Espagnols, Portuguais puis des pays du Maghreb, des autres pays d’Afrique, et d’autres régions plus lointaines …

 

3) Considérant que 1901 correspond à la date de l’indice base 100, donnez l’indice en 2011 correspondant à la population française: 162.5

 

Remarque : Pour donner du sens à un indice il faut le traduire en % ou en indice. Ainsi, dire que la population française est passée de l’indice 100 en 1901 à 162,5 en 2011 , cela signifie que la population française a augmenté de 62,5% (lorsque les chiffres sont inférieurs à 100% on utilisera de préférence les % puis après les coefficients multiplicateurs)

 

2. Un complément sur les indices en économie

Concernant les indices tu dois te rappeler que l’INSEE qui calcule l’inflation avec l’ indice des prix à la consommation (IPC) prend en compte l’Indice de Laspeyre-prix

En effet, le plus souvent, on est confronté non pas à l’évolution d’une seule grandeur mais de plusieurs grandeurs. Ainsi pour calculer l’augmentation générale des prix dans un pays autrement dit l’inflation, nous sommes obligés de prendre en considération l’évolution des prix des différents produits mais aussi la quantité consommée de ces différents produits

 

Les fonctions

Pour déterminer les causalités entre 2 variables, et notamment le prix et la quantité, on utilise les fonctions.

En économie les fonctions permettent donc de représenter l’évolution des coûts (moyens, marginaux) et recettes (moyens, marginaux) et ainsi de repérer les profits (le maximum). Le signe de la dérivée permet de savoir si la fonction est croissante ou décroissante, par exemple si le coût est croissant, décroissant, … on retrouve bien sûr en toile de fond les hypothèses de nos chères néo-classiques. Ainsi on retrouve très souvent la loi des rendements décroissants. Plus je produis, plus la productivité baisse, dit autrement le coût de production augmente.

 

On peut optimiser sous contrainte, c’est ce qu’on appelle la programmation linéaire pour un consommateur ou pour une entreprise

 

Mais alors pourquoi introduire des fonctions plus complexes avec des logarithmes, des exponentielles, des inverses, des puissances …. Parce que cela a du sens!!

. les inverses expriment l’idée que plus X augmente plus la valeur correspondante diminue. Ainsi lorsque le temps augmente, beaucoup de prix d’objets diminuent donc f(p) = p  x  1/ t 

les logarithmes peuvent exprimer l’idée que plus le pouvoir d’achat augmente, plus la satisfaction retirée d’une consommation se réduit.

 

Les élasticités

L’élasticité permet de mesurer la variation d’une « grandeur-effet » provoquée par la variation d’une « grandeur-cause ». Nous mesurons ainsi des variations d’une demande ou d’une offre qui sont la cause soit de la variation du prix, soit de la variation du revenu.

                                                 Le saviez vous?

Alfred Marshall

Alfred Marshall (1842/1924) est considéré comme l’un des 3 grands économistes néo-classique de l’école de Cambridge avec W.S Jevons et A.C Pigou. Il est à l’origine de la notion d’élasticité . Dans Principes d’économie politique (1890) il écrit: “l’élasticité de la demande sur un marché est dite grande ou faible suivant que la quantité demandée augmente beaucoup ou augmente peu pour un baisse de prix donnée, et diminue beaucoup ou diminue peu pour une hausse des prix donnée »

 

 

 

1. L’ élasticités-prix

Il existe l’élasticité de l’offre et celle de la demande. L’élasticité de l’offre permet de calculer la variation de la quantité offerte lorsque le prix du produit varie. Imaginons que les prix des chambres simples des hôtels chutent face à la concurrence drastique de Airbnb Est-il souhaitable de continuer à fournir une telle offre ou bien certains hôteliers vont-ils se reconvertir? La question de l’élasticité-prix par rapport à l’offre est passionnante, pour autant nous allons nous pencher sur l’élasticité-prix par rapport à la demande qui est beaucoup plus usitée.

La formule est Eq/p = (Δ q /q) / (Δ p/p) ,autrement dit le taux de variation des quantités divisé par le taux de variation des prix.

Cela permet de calculer la variation de la quantité d’un bien qui est demandé lorsque le prix varie. Ainsi, si le prix des billets d’avion pour l’ile de Madère, toujours ensoleillée, baisse de 10% alors que l’Europe continentale est plongée sous la grisaille, cela peut créer une augmentation des réservations de billets de 20%. On pourra dire que l’élasticité de la demande par rapport au prix est de -2 (+ 20% / – 10% )

 

Concernant les biens normaux l’élasticité-prix de la demande est négative puisque d’ordinaire lorsque les prix baissent la quantité demandée augmente et inversement..

 

Si l’élasticité est nulle cela signifie que la demande est inélastique au prix. Par exemple, quel que soit le prix de l’essence, beaucoup de ménages continueront à se servir à la pompe par nécessité d’utiliser la voiture.

 

Si l’élasticité est supérieure à – 1 signifie que la demande est élastique au prix. Ainsi lorsque le prix des transports baissent alors la demande augmente parfois fortement.

 

Première remarque: Il arrive parfois que lorsque les prix augmentent alors … la demande augmente !!

Nous retrouvons E q/p> 0 par exemple pour les biens Veblen

 

                                                 Le saviez vous?

Veblen

C’est bien Thorstein Veblen (1857/1929), cet immigré américain d’origine norvégienne qui est à l’origine de la notion de biens de consommation ostentatoire ou biens Veblen. Toute sa vie, il s’est intéressé à la motivation qui pousse les individus à consommer. Il enseigna à Chicago puis à Stanford en Californie avant d’aller dans le Missouri.Son livre principal The theory of the Leisure Class écrit en 1899 a connu un succès important. Il ne fut traduit en Français qu’en 1970! L’effet Veblen traduit l’effet de snobisme qui pousse certaines personnes à acheter lorsque le prix augmente ce qui permet d’afficher avec ostentation son pouvoir d’achat

 

 

 

 

Le même cas de figure peut se produire dans une situation radicalement différente. C’est le cas des biens Giffen.

                                                 Le saviez vous?

La famine irlandaise

Entre 1845 et 1852, la grande famine a causé la mort de plus d’un million d’Irlandais alors que des millions s’exilaient vers les Etats-Unis. C’est dans ce contexte que Robert Giffen a étudié le comportement de demande de la pomme de terre lorsque le prix de cette denrée est devenue râre après l’apparition du mildiou, le parasite qui a détruit la majorité de la production. Il a alors constaté que lorsque le prix de la pomme de terre augmente alors la demande augmente.!! En effet, la pomme de terre, qui représente à l’époque un grand pourcentage de la consommation du revenu pour beaucoup d’irlandais, est un bien de première nécessité et ce bien n’est pas substituable. Alors, dans la perspective vitale de manquer de pomme de terre, le signal d’une augmentation de ce bien, incite les irlandais à en demander pour ne pas en manquer

 

 

 

 

 

 

Deuxième remarque: il peut être intéressant de mesurer la variation de la demande d’un bien en fonction de la variation du prix d’un autre bien. Par exemple, si le prix des billets TGV Paris-Marseille augmente fortement alors la demande pour les vols Paris-Marseille va augmenter ou bien encore les transports par car. On voit ainsi que l’élasticité-prix croisé est un outil particulièrement utile pour détecter si deux biens sont substituables ou complémentaires. Si l’élasticité prix croisé est positive alors les biens sont substituables. Si l’élasticité prix croisé est nulle alors les 2 biens sont indépendants. Enfin, Si l’élasticité prix croisé est négative alors les biens sont complémentaires. Par exemple si nous reprenons l’exemple précédent (les billets TGV Paris-Marseille qui augmentent fortement) alors cela affectera surement la demande de biens immobiliers dans la région PACA. Les billets TGV Paris-Marseille et les biens immobiliers dans la région PACA sont complémentaires

 

  1. L’ élasticité revenu

La formule E c/r = (Δ c /c) / (Δ r/r) ,autrement dit le taux de variation de la consommation divisé par le taux de variation des prix)

Elle mesure la sensibilité de la consommation à la variation du revenu. Si je m’enrichis, quels biens de consommations vais-je privilégier? On peut alors distinguer trois types de bien:

– les biens inférieurs ( E c/r < 0 ) Par exemple si mon revenu d’étudiant augmente grâce à un emploi saisonnier, il y a fort à parier que je vais réduire ma consommation de pizzas surgelées à bas prix

 

– les biens normaux ( 0 < E c/r < 1 ) Mon nouveau revenu d’éudiant plus important me permet de modifier mon forfait mobile

 

– les biens supérieurs ( E c/r > 1) La proportions de mes dépenses en loisirs par exemple sera supérieure à celle de l’augmentation de mes revenus.

Tout cela est à mettre en relation avec la loi d’Engel!

                                                 Le saviez vous?

La loi d’Engel

Ernst Engel est un statisticien allemand qui est resté dans la postérité, grâce à son analyse des observations de E. Ducpetiaux sur les budgets de familles belges et de celle de F. Le Play E. Engel a alors établi la loi suivante: la part de la consommation alimentaire décroît lorsque le revenu augmente. Intuitivement on comprend aisément que lorsque le revenu augmente on peut se permettre de consacrer une part moins importante aux biens de premières nécessités et à l’inverse, on va consacrer un montant plus élevé aux autres biens. Cette loi économique a été confirmée par de nombreuses autres études, on peut ainsi dire qu’elle est robuste autrement dit qu’elle est universelle et varie peu dans l’espace et dans le temps

 

 

 

 

 

Les probabilités

Les probabilités permettent de modéliser différents phénomènes. Par exemple, quelle est la pratique du vote des ouvriers? cadres? agriculteurs? … ensuite les résultats des élections permettent de vérifier statistiquement la validité du modèle.

Plus couramment, on vous fait travailler différemment en sociologie et économie.

En sociologie c’est le règne des sondages par excellence. Quelle est la prévision d’un vote? Avec quel pourcentage d’erreur?

En économie, les probabilités permettent de mesurer la marge d’erreur autrement dit la fiabilité d’un résultat. Il est probable que …

Les probabilités jouent donc un rôle clé pour prendre en compte l’incertitude ou la confiance qui est par nature incertaine. Depuis J.M. Keynes nous savons que la confiance joue un rôle déterminant en économie.

Dès qu’un modèle économique prend en compte la confiance des acteurs économiques ou encore l’incertitude d’un résultat, il est nécessaire de prendre en compte les lois de la probabilité.

 

Les statistiques

Comme nous l’avons dit ci-dessus, les statistiques permettent de vérifier la validité des modèles.

On vous donne à traiter plus souvent certains thèmes que d’autres.

En économie le domaine de prédilection des statistiques concernent la répartition des revenus et donc les thèmes égalité, inégalité, justice sociale …

En sociologie on retrouve les statistiques dès que l’on utilisé des méthodes quantitatives. Réaliser des sondages nécessitent souvent de calculer moyenne, écart type, …

 

1 Les séries statistiques simples

On peut calculer des moyennes, variance, écart type, ou encore lorsqu’on traite par exemple des inégalités les médianes, quartiles ou autres déciles

L’écart type mesure la dispersion des données. Un écart type nous donne finalement « la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne »

Si il est faible, les données sont très resserrées autrement dit il y a une masse importante de personne autour de la moyenne. Inversement, si l’écart type est élevé alors les données sont très dispersées

Remarque: pour une série statistique de notes sur 20, on peut considérer qu’un petit écart type est de l’ordre de 2 alors qu’un ordre de 4 nous donne un grand écart type.

2 Les séries statistique double

 

3 Le test du X²

En économie le test du X² peut avoir plusieurs usages

-> Il permet de tester l’indépendance entre 2 variables aléatoires

Par exemple si la variable 1 est le salaire et la variable 2 le sexe, alors on pourra se demander s’il y a corrélation entre le niveau de salaire et le fait d’être un homme ou une femme

voir le problème Wikipédia test du X² très bien fait

-> le test du X² permet de juger l’hypothèse qu’une série de donnée statistique suit une certaine loi de probabilité

Exemple sur un sondage. Si on interroge 1000 personnes qui vote, peut-on alors faire l’hypothèse que le vote de la population suit une loi déterminée?

 

Les suites

En SES, les suites sont utilisées pour 2 approches.

On peut les utiliser pour modéliser un phénomène. Par exemple une ville grandit de tant d’habitants par an, modéliser la fonction de croissance démographique pour repérer le nombre d’habitants dans 5 ans, 10 ans, …

On peut aussi les utiliser pour les calculs financiers. C’est alors l’outil des taux d’intérêt simple ou composé …

Avant de se pencher sur les taux d’intérêt, on rappellera qu’il existe de nombreux exercices micro ou macro où le taux de croissance à taux constant est assimilé à une suite

Par exemple: un appartement vaut 150 000 euros et augmente chaque année d’un taux réel de 3%. Augmentation en 5 ans?

Combien d’années pour le doublement de sa valeur?

Autre exemple: Il vaut 150 000 euros en 2005 et 200 000 euros en 2010. Quel est le taux de croissance annuel supposé constant sur la période?

Autre exemple: Cet appartement de 150 000 euros augmente de 3% puis 5% puis 2% enfin 4%. Quel est son tcam?

 

Passons au taux d’intérêt

Les suites sont l’outil déterminant pour les calculs de capitaux simples et composés.

1. les capitaux à taux d’intérêt simple

Les placements d’une durée inférieure à un an ont généralement des intérêts simples. Le taux annuel est désigné comme le taux nominal ou le taux facial. si il y a besoin de calculer le taux d’intérêt mensuel correspondant par exemple on sait qu’il faut calculer le taux périodique

Le taux périodique est un taux proportionnel si ce taux appliqué à un calcul d’intérêts simples sur toutes les périodes de l’année donne le même résultat que le taux annuel.

Formule générale :

Taux périodique proportionnel = Taux nominal × Durée de la période / Durée de l’année.

Exemple :

– Taux proportionnel mensuel pour un taux annuel de 6% : 0,06 x 1 mois / 12 mois = 0,5 %.

– Taux proportionnel pour la période du 1/1/2005 au 15/2/2005 pour un taux annuel de 10 % :
0,10 ×46 jours / 365 jours = 1,26 %

2. les capitaux à taux d’intérêt composés

Les intérêts des placements de plus d’un an sont des intérêts composés. Le taux annuel est appelé taux actuariel ou taux équivalent.

Le taux périodique est un taux équivalent (ou actuariel) si ce taux appliqué à un calcul d’intérêts composés sur toutes les périodes de l’année donne le même résultat que le taux annuel.

 

Formule générale :

Taux périodique équivalent =

(1 + Taux annuel)Durée de la période / Durée de l’année– 1

Exemple :

– Taux équivalent mensuel pour un taux annuel de 6% : 1,061 mois / 12 mois- 1 = 0,49 %.

– Taux équivalent pour la période du 1/1/2005 au 15/2/2005 pour un taux annuel de 10 % :
1,1046 jours / 365 jours- 1 = 1,21 %.

 

Plus précisément on peut répondre aux questions

1) Combien rapporte un capital placé pendant X années? -> calcul des sommes sur x années

on a les formules suivantes

-> t.i simple:

-> t.i composé

 

Quel est le t.i nécessaire pour que la capital double en 5 ans? (exemple)

2) Combien coûte un emprunt? Quel sera le taux d’intérêt (simple ou composé nou TEG ou …)

3) Est-ce rentable d’investir? Il faut alors calculer la Valeur Actualité Nette (VAN)

 

Les matrices: l’outil des graphes et plus précisément des graphes probabilistes

il peut être intéressant de repérer les évolutions des comportements des individus

Il faut déterminer le graphe puis la matrice correspondante. On peut alors:

 

1. Traduire l’évolution d’un état probabiliste par un graphe

….

2. Déterminer l’état stable

 

La programmation linéaire  peut amener à résoudre un système de fonction que l’on peut assimiler à une matrice. D’où la recherche du pivot de Gauss (si on ne peut pas utiliser la calculatrice)

 

Les intégrales

L’intégrale est l’outil par excellence qui permet le calcul des aires.

En économie cela peut se rapporter à plusieurs thèmes.

Concernant le thème des inégalités et de la répartition des revenus. On peut être amené à calculer un coefficient de Gini .

Les intégrales peuvent être utilisées pour la notion de surplus.

Cela peut concerner les surplus du consommateur ou encore les calculs de surplus lorsqu’on veut repérer un optimum de pollution.

 

 

 

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